Question

设，函数．

   （1）当时，求曲线在点处的切线方程；

   （2）当时，求函数的最小值．

Answer

解:（1）当时，，

当时，

令，得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线在处的切线方程为：．                  

   （2）①当时，， ．

，恒成立．在上为增函数．

   故当时，．                                     

②当时，，

（）

（ⅰ）当即时，若时，，所以在区间上为增函数．故当时，，且此时．                      

（ⅱ）当，即时，若时，;

若时,,

所以在区间上为减函数，在上为增函数，

故当时，，且此时．                

（ⅲ）当；即时，若时，,所以在区间[1,]上为减函数，故当时，．                                          

综上所述，当时，在和上的最小值都是,

所以在上的最小值为；

当时，在时的最小值为，

而，

所以在上的最小值为．

当时，在时最小值为，在时的最小值为，

而,  所以在上的最小值为．

所以函数的最小值为