Question

已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数，总有成立．

   （1）求的值，并证明为偶函数；

   （2）若数列满足，求数列的通项公式；  

   （3）若对于任意非零实数，总有．设有理数满足，判断 和 的大小关系，并证明你的结论．

Answer

解:（1）令，，又，．

令，得 ，即

对任意的实数总成立， 为偶函数．                

   （2）令，得 ，，．

．                                       

令，得，

．                                        

是以为首项，以为公比的等比数列．                          

∴．                                                      

   （3）结论：．                                               

证明：∵时，,

∴，即．

∴令（），故，总有

成立．

则∴对于，总有成立．                            

∴对于，若，则有成立．

∵，所以可设，其中是非负整数，都是正整数，则，令，，则．

∵，∴，∴，即．           

∵函数为偶函数，∴．

∴．