Question

    如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，

CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1．

   （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；

   （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

   （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

Answer

    证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。

    因为EF∥AG,且EF=1，AG=AC=1

    所以四边形AGEF为平行四边形

    所以AF∥EG

    因为EG平面BDE,AF平面BDE,

    所以AF∥平面BDE

   （Ⅱ）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，且。

    所以CE 平面ABCE，

    如图，以C为原点，建立空间直角坐标系

    则，

    所以

    所以

    所以CF BE，CF DE。

    所以CF 平面BDE。

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知，是平面BDE的一个法向量。

    设平面ABE的法向量，

    则

    即

    所以

    令

    所以

    从而

    因为二面角A—BE—D为锐角，

    所以二面角A—BE—D的大小为