Question

    已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为

   （Ⅰ）证明：，且;

   （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数

   （Ⅲ） 设P，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为（P）．

    证明：（P）≤．

Answer

【分析】：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。

    题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1， 也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1， 第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了。

    第一问，因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合的要求。然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1， 每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差。

    第二问，先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：，从而三者不可能同为奇数。

    第三问，首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来一切就水到渠成了。

    此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。

   证明：（Ⅰ）设

    因为，所以

    从而

    由题意知

    当时，

    当时，

    所以

   （Ⅱ）设

    记由（Ⅱ）可知

    所以中1的个数为k,中1的个数为

    设是使成立的的个数。则

    由此可知，三个数不可能都是奇数

    即三个数中至少有一个是偶数。

   （Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0，

    则

       由于

    所以

    从而