Question

    已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。

   （Ⅰ）求椭圆C的方程；

   （Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

   （Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值。

Answer

    【解析】
（Ⅰ）因为，且，所以

    所以椭圆C的方程为

   （Ⅱ）由题意知

    由  得

    所以圆P的半径为

    解得          所以点P的坐标是（0，）

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。

    所以

    设，则

    当，即，且，取最大值2．

【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题．问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力．

【点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高．求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练．