Question

（Ⅰ）已知函数，。

（i）求函数的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点

，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段

（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

Answer

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

【解析】（Ⅰ）（i）由得=，

当和时，；

当时，，

因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。

（ii）曲线C与其在点处的切线方程为

得，

即，解得，进而有

，用代替，重复上述计算过程，可得

和，又，所以

因此有。

（Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点

，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段

证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得

，故。