Question

    如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH//A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，

CC₁相交，交点分别为F，G。

   （Ⅰ）证明：AD//平面EFGH；

   （Ⅱ）设AB=2AA₁=2，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁

内随机选取一点，记该点取自于几何体

A₁ABFE—D₁DCGH内的概率为。当点E，F

分别在棱A₁B₁，B₁B上运动且满足时，

求的最小值。

Answer

 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.满分12分.

    解法一：

   （I）证明：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD//A1D1.

又∵EH//A1D1，∴AD//EH

平面EFGH，

EH平面EFGH，

∴AD//平面EFGH.

   （II）设BC=b，则

长方体ABCD—A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2

几何体EB1F—HC1C的体积

当且仅当时等号成立.

从而，

故

当且仅当时等号成立.

所以，p的最小值等于

解法二：

   （I）同解法一.

   （II）设BC=b，则

长方体ABCD—A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2

几何体EB1F—HC1C的体积，

设，则

故

当且仅当时等号成立，

从而，

当且仅当时等号成立.

所以，p的最小值等于