Question

    某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。

   （Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小船航行速度应为多少？

   （Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

   （Ⅲ）是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer

 本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分.

    解法一：

   （I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则

    即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

   （II）设小艇与轮船在B处相遇.

    由题意可得：，

    化简得：

    由于

    所以当时，

    v取得最小值

    即小艇航行速度的最小值为海里/小时，

   （III）由（II）知，

    于是（*）

    小艇总能有两种不同的般行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：

    解得

所以，v的取值范围是

解法二：

   （I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.

设小艇与轮船在C处相遇.

在中，

此时，轮船航行时间

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

   （II）同解法一.

   （III）同解法一.