Question

    已知函数的图象在点处的切线方程为

   （Ⅰ）求实数的值；

   （Ⅱ）设是[2，+∞）上的增函数。

        （i）求实数的最大值；

        （ii）当取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

Answer

 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分.

解法一：

   （I）由及题设得即

   （II）（i）由

得

上的增函数，上恒成立，

即上恒成立，

设

，

即不等式上恒成立，

当时，设在上恒成立，

当时，设

因为，所以函数在上单调递增,\

因此

，即

又

综上，m的最大值为3.

   （ii）由（i）得其图象关于点成中心对称.

证明如下：

    因此，

    上式表明，若点为函数的图象上的任意一点，

    则点也一定在函数的图象上，

    而线段AB中点恒为点Q，

    由此即知函数的图象关于点Q成中心对称。

    这也就表明，存在点，使得过点Q的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形，

    则这两个封闭图形的面积总相等。

    解法二：

   （Ⅰ）同解法一。

   （Ⅱ）（i）由

    得

    是[2，+∞）上的增函数，

    在[2，+∞）上恒成立，

    即在[2，+∞）上恒成立。

    设

    即不等式在[1，+∞）上恒成立。

    所以在[1，+∞）上恒成立。

    所以，可得，

    故，好的最大值为3。

   （ii）由（i）得

    将函数的图象向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图象相应的函数解析式为

    由于，所以为奇函数，

    故的图象关于坐标原点成中心对称。

    由此即得，函数的图象关于点成中心对称。

    这也就表明，存在点，使得过点Q的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。