Question

 
    如图5，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=

   （1）证明：EB⊥FD；

   （2）已知点Q，R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ=，

,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.

Answer

 证明：（1）连结CF。

因为△AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，

所以

所以△BDF是等腰三角形，且点C是底边BD的中点，所以CF⊥BD，

即

   （2）设平面与平面RQD的交线为.

由BQ=FE,FR=FB知, .

而平面，∴平面，

而平面平面= ，

∴.

由（1）知，平面，∴平面，

而平面， 平面，

∴，

∴是平面与平面所成二面角的平面角．

在中，，

，．

由正弦定理知，

由正弦定理知，

 ．

故平面与平面所成二面角的正弦值是．