Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，

且OA=OB=OC=1.

   （I）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使并计算的值;

   （II）求二面角O—AC—B的平面角的余弦值.

Answer

 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象力、推理论证能力和运算求解能力.

    解法一：

   （I）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC.

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.

平面ONC，

取Q为AN的中点，则PQ//NC，

在等腰

在

在

   （II）连结ON，PO.

由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，

又平面OAB，∴OC⊥ON，

又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC，

∴OP是NP在平面AOC内的射影，

在等腰中，P为AC的中点，

根据三垂线定理，知：AC⊥NP.

为二面角O—AC—B的平面角，

在等腰中，OC=OA=1，，

在

解法二：

   （I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在角的直线为x轴，z轴，建立空间直角从标系O—xyz（如图所示）

则A（1，0，0），C（0，0，1），

∵P为AC中点，

设

所以存在点使得

   （II）记平面ABC的法向量为，则由

且，

得故可取

又平面OAC的法向量为

二面角O—AC—B的平面角是锐角，记为