Question

如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．

   （Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；

   （Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

Answer

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.

【参考答案】

解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.  ………………3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB­1，故∠CDG为异面直线AB­1与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，得

作B2H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA2C2C，

又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B2K，由三垂线定理，得

因此为二面角A1—AC1—B1的平面角。   

所以二面角 

解法二：

   （I）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，

设AB=2，则A（2，0，0），B1（0，2，0），D（0，1，0），

又设C（1，0，c），则

于是

故，

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线。

   （II）因为等于异面直线与CD的夹角。

故,

即

解得

又

所以       

设平面AA1C1的法向量为

则

即

令

设平面AB2C2的法向量为

则

即

令

所以

由于等于二面角A1—AC1—B1的平面角，

所以二面角A1—AC1—B1的大小为

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.