Question

已知斜率为1的直线与双曲线相交于B，D两点，且BD的中点为M（1，3）.

   （I）求C的离心率；

   （II）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x 轴相切.

Answer

 本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。

（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率。

（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。