Question

    如图，在五棱锥P—ABCDE中，平面ABCDE，AB//CD，AC//ED，AE//BC，，三角形PAB是等腰三角形。

   （Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；

   （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

   （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

Answer

【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，

AB=2，BC=4，

所以在中，由余弦定理得：

，解得，

所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，

又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为

，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，

过点A作于H，则

，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，

所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，

所以四边形ACDE的面积为，

所以四棱锥P—ACDE的体积为=。

【命题意图】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。