Question

如图，已知椭圆的离心率

为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点

为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线

的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点

的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、

B和C、D.

   （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

   （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明：；

   （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

 【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，

所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。

   （II）设点

所以在双曲线上，

所以有

所以

   （III）假设存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立，则由（II）知

，所以设直线AB的方程为

则直线CD的方程为

由方程组

设

所以，同理可得

    又因为|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，所以有

   【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。