Question

    已知函数.

   （Ⅰ）当时，讨论的单调性；

   （Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

Answer

【解析】（I）原函数的定义域为

所以，当所以

此时函数上是增函数；在（0，1）上是减函数；

所以此时函数是减函数；

当

解得（舍去），此时函数上是增函数；

在（0，1）上是减函数；

此时函数

上是减函数；

   （Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，

有，又已知存在，使，

所以，，

即存在，使，

即，即，

所以，解得，即实数取值范围是。

   【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

   （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。