Question

 如图，已知椭圆过点（1，），离心率为 ，左右焦点分别为．点为直线：上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和为坐标原点．

    （Ⅰ） 求椭圆的标准方程；

   （Ⅱ）设直线、斜率分别为．

证明：

（ⅱ）问直线上是否存在一点，

使直线的斜率

满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

 【命题意图】本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。

    【解析】（I）【解析】
因为椭圆过点（1，），e=，

    所以，．

    又，

    所以

    故所求椭圆方程为 ．

   （II）（i）设点P，因为点P不在x轴上，

所以，又

    所以

因此结论成立

   （ⅱ）【解析】
设，，，．

    故

    若，须有=0或=1．

    ① 当=0时，结合（ⅰ）的结论，可得=－2，所以解得点P的坐标为（0，2）；

    ② 当=1时，结合（ⅰ）的结论，可得=3或=－1（此时=－1，不满足≠，舍去 ），此时直线CD的方程为，联立方程得，

    因此 ．

    综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，（，）。