Question

如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer

 （I）证明：如答（20）图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，由PA=AB知

为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB

由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，

由垂线定理得BC⊥PB，从而PC⊥平面PAB，

因AE⊥BP，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。

   （II）【解析】
由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，

得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE。

在中，PA=AB=，

从而在，

所以为等边三角形，

取CE的中点F，连接DF，则

因BE=BC=1，且BC⊥BE，则为等腰直角三角形，连接BF，则BF⊥CE，

所以为所求的二面角的平面角。

连接BD，在中，

所以

故二面角B—EC—D的平面角的余弦值为

解法二：

   （I）如答（20）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz.

    设D（0，a，0），则

    .

    于是

    则，所以AE⊥平面PBC.

   （II）【解析】
设平面BEC的法向量为n，由（I）知，AE⊥平面BEC，

故可取

设平面DEC的法向量，则，

由 =1，得

从而

故

所以

可取

从而

所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值为