Question

 已知函数，（x>0）．

   （1）当0<a<b，且f（a）=f（b）时，求的值  ；

   （2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

   （3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．

Answer

 【解析】
（1） ∵x>0，∴

    ∴f（x）在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

    由00．而

    ①当时，在（0，1）上为减函数．

    故     即  解得  a=b．

    故此时不存在适合条件的实数a，b．

    ②当时，在上是增函数．

    故     即 

    此时a，b是方程的根，此方程无实根．

    故此时不存在适合条件的实数a，b．

    ③当，时，由于，而，

    故此时不存在适合条件的实数a，b．

    综上可知，不存在适合条件的实数a，b．        …………………………8分

   （3）若存在实数a，b（a0，m>0．

    当时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，

    故．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．

    当，时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

    故只有．

    ∵在上是增函数，

    ∴ 即    

    所以a、b是方程的两个根．

    即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根．

    设这两个根为、，则+=，·=．

    ∴      

    即    解得   ．

    故m的取值范围是．   ……………………………14分