Question

已知数列满足, ，．

（1）求证：是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，且对于恒成立，求的取值范围

Answer

【解析】
（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)…………… 3分

∵a1＝5，a2＝5 ∴a2＋2a1＝15……………………… 4分

故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列           …………5分

（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n  ……………………………………………… 6分

由待定系数法可得(an＋n＋1)＝－2(an－3n) ……………………………8分

即an－3n＝2(－2)n－1  故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n              ………9分

（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n………10分

 令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n

  Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1         …………11分

得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1

∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6           ………………13分

要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，只须m≥6    …14分