Question

设、分别是椭圆的左．右焦点．

   （1）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围;

   （2）设过定点Q（0,2）的直线与椭圆交于不同的两点M．N，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

   （3）设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E．F两点．求四边形面积的最大值．

Answer

 解法一：易知

所以，设，则

故．………………………………………………………………2分

   （2）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：………………3分

∴

由得：……………5分

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0 

∴

又

∵，即  ∴

故由①．②得或…………………………………7分

   （3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．………………………9分

又，

所以四边形的面积为

=，

…………………………………………………11分

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．………12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，……………………9分

故四边形的面积为

，

…………………………………………………11分

当时，上式取等号．所以的最大值为．………………………12分