Question

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知

   （I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；

   （II）求CC₁到平面A₁AB的距离；

   （理）（III）求二面角A—A₁B—C的大小

Answer

 【解析】
（I）因为A1D⊥平面ABC，

所以平面AA1C1C⊥平面ABC，   …………1分

又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，

得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1   …………2分

所以AC1⊥平面A1BC； …………3分

   （II）因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，

故AA1=AC=2，又D为AC中点，知  …………4分

取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而平面A1AB⊥平面BCF，…………6分

过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，

在    …………7分

即CC1到平面A1AB的距离为   …………8分

   （III）过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，

从而为二面角A—A1B—C的平面角， …………9分

在

在中， …………11分

故二面角A—A1B—C的大小为   …………12分