Question

        已知函数，且函数的图象关于原点

对称，其图象在x=3处的切线方程为

   （1）求的解析式；

   （2）是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为 的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由.

Answer

 【解析】
（1）的图象关于原点对称，

恒成立，

即

又的图象在x=3处的切线方程为，

即           …………2分

…………3分

故所求的解析式为     …………6分

   （2）解

又，

且当时，  …………8分

当

递增；在[-1，1]上递减 …………9分

上的极大值和极小值分别为

而

故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为    …………12分