Question

 如图，已知四棱锥，底面为菱形，⊥平面，，、分别是、的中点。

（Ⅰ）证明：⊥；

（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer

（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，

可得为正三角形。因为为的中点，所以。 …………1分

又∥，因此。…………………………………………………2分

因为平面，平面，所以。 ………3分

而，所以平面。 ………………………………4分

又平面，所以。 ……………………………………5分

（Ⅱ）【解析】
设，为上任意一点，连接、

由（Ⅰ）可知：平面，

则为与平面所成的角。……………………………………………6分

在中，，

所以当最短时，最大， ………………………………………………7分

即当时，最大，此时。           

因此。又，所以，于是。 ……………………8分

因为⊥平面，平面，

所以平面平面。  …………………………………………9分

过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，

过作于，连接，

则由三垂线定理可知：为二面角的平面角。  ……………………10分

在中，，

又是的中点，在中，            

又  ………………………………11分

在中，

即二面角的余弦值为。  ………………………………12分