Question

 经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点．

（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；

（2）当恰为的中点时，求直线的方程；

（3）当时，求直线的方程；

（4）当变化时，求弦的中点的轨迹方程．

Answer

 【解析】
（1）的参数方程（为参数）．        …………1分

曲线化为：，将直线参数方程的代入，得          

∵恒成立，                ………………3分

∴方程必有相异两实根，且，．

∴

∴当时，．                  ………………5分

（2）由为中点，可知，

∴，

故直线的方程为．                 ………………7分

（3）∵，得

∴,

∴或

故直线的方程为或           ………………9分

（4）∵中点对应参数

∴（ 参数 ），消去，得

弦的中点的轨迹方程为；

轨迹是以为圆心，为半径的圆．             ………………10分