Question

已知函数在处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

(3)证明：

(参考数据：ln2≈0.6931).

Answer

 【解析】
(1)f '(x)＝1＋，由题意，得f '(1)＝0  Þ  a＝0  ……2分

(2)由(1)知f(x)＝x－lnx

∴f(x)＋2x＝x2＋b  ó  x－lnx＋2x＝x2＋b  ó  xx＋lnx＋b＝0

设g(x)＝xx＋lnx＋b(x＞0)

则g'(x)＝2x－3＋＝    ……………………………4分

当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表

x

(0，)

(，1)

1

(1，2)

2

g'(x)

＋

0

－

0

＋

G(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗

b－2＋ln2

当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根

由  Þ 

Þ  ＋ln2≤b≤2                          …………………………………8分

(3)∵k－f(k)＝lnk

∴nk＝2

ó(n∈N，n≥2)

设Φ(x)＝lnx－(x)

则Φ'(x)＝－＝

当x≥2时，Φ'(x)＜0  Þ  函数Φ(x)在

＝2(1＋－)

＝.

∴原不等式成立.                 …………………………………12分'