Question

已知数列满足：（1）；（2）(N*)．

(Ⅰ)求、、；

(Ⅱ)猜测数列的通项，并证明你的结论；

(Ⅲ)试比较与的大小．

Answer

 【解析】
(Ⅰ) ，，；………………………………………… 3分

 (Ⅱ)猜测，…………………………………………………………………1分

证明如下：

当时，，结论成立；………………………………………… 1分

若时，结论成立，即，

则时，

，……2分

于是时，结论成立．

故对所有的正整数，．………………………………………………… 1分

 (Ⅲ)当时，；

当时，；

当时，；

当时，；………………………………………………………………1分

猜想≥（N*）时，．………………………………………………… 1分

证明如下：

当时，，结论成立；…………………………………………………1分

若时，结论成立，即≥，也就是，

则时，

，

而，………………………………………2分

∴．

于是时，结论成立．

从而对任意≥（N*），有．

综上所述，当时，；当≥时，．………………………1分