Question

△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且,°,求：

（Ⅰ）AD的连线和平面BCD所成的角；

（Ⅱ）AD的连线与直线BC所成的角；

（Ⅲ）是否存在实数a,使二面角A—BD—C为,若存在，求出所有a的值;若不存在，请说明理由.

Answer

 （Ⅰ）【解析】
过A作BC的反向延长线的垂线，交于点E，连ED，

∵面，∴AE面BCD

∴为AD与平面BDC所成角.……………………（2分）

又

∴.∴.…………………………（4分）

（Ⅱ）解法1：∵.

解法2：过D作EC的平行线与过C平行于ED的直线交于F.

由（1）知，EDFC为矩形,

∵,∴，即.…………………………………………（7分）

（Ⅲ）当时，使二面角A —BD—C为，证明如下.……………………（8分）

过E作于G，连结AG.

由三垂线定理知，.∴是二面角A—BD—E的平面角……………（10分）

由,可知,

在Rt△AEG中，.

∴当时，二面角A—BD—C的度数为.…………………………（13分）