Question

 　如图，在三棱锥中，，，，．

　（Ⅰ）求证：；

　（Ⅱ）求二面角的大小；

　（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer

 解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，．，．

，平面．

平面，．-------------------------------------------------3分

（Ⅱ），，

．

又，．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．--------------------------------------------9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．平面，．

在中，，，

．．

点到平面的距离为．------------------------------------------------------------14分

解法二：

（Ⅰ），，

．又，．

，平面．平面，．-----------3分

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．，

，．取中点，连结．

，，，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．---------------------------------------------------9分

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，点的坐标为．．

点到平面的距离为．-----------------------------------------------------------14分