Question

已知函数（其中为常数，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当＝时，判断函数的单调性并写出其单调区间；；

（Ⅱ）当时，求证：没有实数解．

Answer

 已知函数（其中为常数，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当＝时，判断函数的单调性并写出其单调区间；；

（Ⅱ）当时，求证：没有实数解．

【解析】
（Ⅰ）因为x >0，

当＝时，==，

令，所以，

令，所以；                                     

所以函数的单调增区间为；

单调减区间为-------------------------------------7分

（Ⅱ）解一: 令

     当时，----------------------------------------------------------10分

令则

所以h(x)在(0,e)上为增函数，在(e,+上为减函数，

所以h(x)max=h(e)=---------------------------------------------------------------13分

    所以x >0时,g(x)>h(x)恒成立，即

    即

   > 0恒成立，

所以f (x)=0无解.----------------------------------------------------------------------15分

解二: 设f (x)的极小值点为x0，则，

令g(x0)= ,则= ，---------------------------------10分

当x0 > e 时，> 0,

当x0 < e 时，< 0,

所以g(x0)min= g(e)=0, 即>0,------------------------------------------13分

故>0恒成立.

所以f (x)=0无解.----------------------------------------------------------------------15分