Question

设为实数，函数，

（1）讨论的奇偶性；

（2）求的最小值．

Answer

 【解析】
(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.

当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+

若a≤，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减.

从而函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f(a)=a2+1

若a＞，则函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a).

②当x≥a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+

若a≤–，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–)=–a，且f(–)≤f(a)；

若a＞–，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.

从而函数f(x)在［a,+∞）上的最小值为f(a)=a2+1.

综上，当a≤–时，函数f(x)的最小值为–a；

当–＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.