Question

已知数列、

（Ⅰ）若{a_n}是等比数列，试求数列{b_n}的前n项和S­_n的公式；

（Ⅱ）当{b_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列；乙同学说：{a_n}一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

Answer

 （I）【解析】
因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.

∴a≠0，an=an－1.

又

即是以a为首项, a2为公比的等比数列.

（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：

解法一：设{bn}的公比为q，则

又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，

a2, a4, a6, …, a2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，

即{an}为：1，a, q, aq , q2, aq2,

当q=a2时，{an}是等比数列；

当q≠a2时，{an}不是等比数列.

解法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：

设{bn}的公比为q

（1）取a=q=1时，an=1(n∈N)，此时bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列.

（2）取a=2, q=1时，

所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．