Question

 [番茄花园1]  已知的三边长成等差数列，若点的坐标分别为．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若线段的延长线交轨迹于点，当  时，求线段的垂直平分线与轴交点的横坐标的取值范围．

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 [番茄花园1]22.

Answer

 [番茄花园1] 【解析】
（Ⅰ）因为成等差数列，点的坐标分别为

所以且

由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），

所以．

故顶点的轨迹方程为

（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为．

由得

，

设两点坐标分别为，

则，，

所以线段中点的坐标为,

故垂直平分线的方程为，

令，得与轴交点的横坐标为，

由得，解得，

又因为，所以．

当时，有，此时函数递减，

所以．所以，．

故直线与轴交点的横坐标的范围是．

 [番茄花园1]22.