Question

 [番茄花园1] 已知二次函数y=f₁(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f₂(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).

 (1) 求函数f(x)的表达式；

(2) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个不同的实数解.

---

 [番茄花园1]20．

Answer

 [番茄花园1] 【解析】
(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.

   设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为

   A(,)B(－,－)

   由=8,得k=8,. ∴f2(x)=.故f(x)=x2+.………………………………6分

     (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+,

   即=－x2+a2+.

   在同一坐标系内作出f2(x)=和

f3(x)= －x2+a2+

   的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.

  因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,

  即f(x)=f(a)有一个负数解.

  又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+

   当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,

  ∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.

  ∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.

  因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. ………………………………14分

  【证法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+,

   即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一个解x1=a.

   方程x+a－=0化为ax2+a2x－8=0,

   由a>3,△=a4+32a>0,得

   x2=, x3=,

  ∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且x2≠ x3.

  若x1= x3,即a=,则3a2=, a4=4a,

  得a=0或a=,这与a>3矛盾, ∴x1≠ x3.

  故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.………………………………14分

 [番茄花园1]20．