Question

已知函数f （x）=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值．

   （Ⅰ）求函数f （x）的解析式；

　 （Ⅱ）求证：对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，对于任意一个正实数a都有|f （x₁）－f （x₂）|≤；

   （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer

 【解析】
（I）f′（x）=3ax2+2bx－3，

依题意，f′（1）=f′（－1）=0，

即…………………………………………1分

解得a=1，b=0．

∴f （x）=xx．……………………………………………………3分

   （II）∵f（x）=xx,∴f′（x）=3x=3（x+1）（x－1），

利用导数求得f（x）在区间[－3，2]上的最大值和最小值分别为：

fmax（x）=f（－1）=f（2）=2，

fmin（x）=f（-3）=－18………………………………4分

∵对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x） －fmin（x）|

|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x）－fmin（x）|=2－（－18）=20……………………6分

由条件可得，，

当且仅当时，等号成立，即恒成立，

∴对于任意一个正实数a都有|f （x1）－f （x2）|≤．………8分

   （III）f′（x）=3x=3（x+1）（x－1），

∵曲线方程为y=xx，∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足

因，

故切线的斜率为，

整理得．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程=0有三个实根．……………………10分

设g（x­0）= ，

则g′（x0）=6，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0­=1．

∴g（x0）在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）= 的极值点为x0=0，x0=1………………12分

∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3