Question

 已知f（x）=（x∈R）在区间[－1，1]上是增函数．

（Ⅰ）求实数的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x₁、x₂．

试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意∈A及t∈[－1，1]恒成立？

若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

 【解析】
（Ⅰ）f＇（x）== …………．2分

    ∵f（x）在[－1，1]上是增函数，

    ∴f＇（x）≥0对x∈[－1，1]恒成立，

    即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．       ①………．．3分

    设（x）=x2－ax－2，

           （1）=1－a－2≤0，

    ①                         …………4分 －1≤a≤1………………．5分

               （－1）=1+a－2≤0．

    ∵对x∈[－1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f＇（-1）=0以及当a=－1时，f＇（1）=0

    ∴A={a|－1≤a≤1}．     ………………6分

    （Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0，   ∵△=a2+8>0

    ∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，

             x1+x2=a，

    ∴          从而|x1－x2|==．

    x1x2=－2，

    ∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3．

    要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

    当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

    即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立．       ②

    设g（t）=m2+tm－2=mt+（m），

         g（－1）=m2－m－2≥0，

    ②

             g（1）=m2+m－2≥0，

       m≥2或m≤－2．

    所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}．