Question

 已知函数．

（1）讨论函数的单调性； 

（2）设，如果对任意，，求的取值范围

Answer

 【解析】
（Ⅰ） f（x）的定义域为（0,+），．

    当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；

    当a≤－1时，＜0, 故f（x）在（0,+）单调减少；

    当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=．当x∈（0, ）时, ＞0；

x∈（，+）时，＜0, 故f（x）在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少．

    （Ⅱ）不妨假设x1≥x2．由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少．

    所以等价于

    ≥4xx2,

    即f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1．

    令g（x）=f（x）+4x,则

    +4

    ＝．   

    于是≤＝≤0．

    从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1） ≤g（x2），

    即 f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，故对任意x1,x2∈（0,+） ，．