Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

Answer

 本小题主要考查解三角形，二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力，运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

解法一：

   （I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

   （II）设小艇与轮船在B处相遇

由题意可得：

化简得：

由于

所以当时，

v取得最小值

即小艇航行速度的最小值为海里/小时