Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

    （1）求的值及的表达式。

    （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值。

Answer

 【解析】
（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为．

再由，得， 因此，而建造费用为

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

   （2），令，即．

解得，（舍去）．

当 时，， 当时， ， 故是 的最小值点，对应的最小值为。即当隔热层修建厚时， 总费用达到最小值70万元。