Question

 在数列中，，，且（）．

   （Ⅰ）设（），证明是等比数列；

   （Ⅱ）求数列的通项公式；

   （Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与 的等差中项．

Answer

 【解析】
（Ⅰ）证明：由题设（），得

    ，即，．

    又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

   （Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

    ，

    ，

    ……

    ，（）．

    将以上各式相加，得（）．

    所以当时，

    上式对显然成立．

   （Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

    由可得，由得， ①

    整理得，解得或（舍去）．于是．

    另一方面，，

    ．

    由①可得，．

    所以对任意的，是与的等差中项．