Question

已知函数(，且a为常数)．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若方程只有一解，求a的值；

（3）若对所有都有，求a的取值范围．

Answer

 （1），………………………………………………………………1分

当时，，在上是单调增函数．…………………3分

当时，

由，得，在上是单调增函数；

由，得，在上是单调减函数．

综上，时，的单调增区间是．

时，的单调增区间是，单调减区间是．…6分

（2）由（1）知，当，时，最小，即，

由方程只有一解，得，又考虑到，

所以，解得．…………………………………………………10分

（3）当时，恒成立，

即得恒成立，即得恒成立，

令（），即当时，恒成立．

又，且，当时等号成立．

………………………………………………………………………………………12分

①当时，，

所以在上是增函数，故恒成立．

②当时，若，，

若，，

所以在上是增函数，故恒成立．…………………14分

③当时，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数．

所以，时，，与时，恒成立矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．……………………………………16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案