Question

已知数列的前五项依次是. 正数数列的前项和为，且.

（I）写出符合条件的数列的一个通项公式；

（II）求的表达式；

（III）在（I）、（II）的条件下，，当时，设，是数列的前项和，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer

 【解析】
（I）.     ……………………………………………2分

（II）因为，，所以，解得，即.

当时，，所以.

，即.       ……………………………5分

所以，，，…，，

累加，得.

所以，，即.  ………………..8分

（III）在（I）、（II）的条件下，.

当时，.

当时，；

当时，.

                             ……………………………………………….10分

因为恒成立，即恒小于的最小值.

显然，的最小值在时取得，且最小值为2.

故有.         ………………………………………………..12分

所以①  或②

解①得，，不等式组②无解.

故，实数的取值范围是.      ………………………………….14分