Question

已知如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE.

（1）求异面直线PA与CD所成的角的大小；

    （2）求证：BE⊥平面PCD；

    （3）求二面角A—PD—B的大小.

 

Answer

解法一：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x，y、z轴，建立空间直角坐标系，则

（1）

…4分

．

（2）

.

                                  9分

（3）设平面PAD的一个法向量为.

令

，设平面PBD的法向量为

令

                                15分

又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为．

解法二：（1）取BC中点F，连结AF，则CF=AD，且CF∥AD，

∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD.

∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角.

∵PB⊥平面ABCD,  ∴PB⊥BA，PB⊥BF.

∵PB=AB=BF=1， ∴PA=PF=AF=.

即异面直线PA与CD所成的角等于．       4分

（2）

，

则.

．          

由（1）知，..

                          9分

（3）设AF与BD的交点为O，则.

过点O作于点H，连结AH，则.

的平面角。

在.

在.

在.

．         15分