Question

如图，在六面体中，平面∥平面，⊥平面，,,∥．且,．

   （Ⅰ）求证： ∥平面；

   （Ⅱ）求二面角的余弦值；

   （Ⅲ） 求五面体的体积．

Answer

 解法一   向量法

由已知，AD．DE．DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A（0，0，2），

B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），

G（0，2，0），F（2，1，0）

（Ⅰ），

∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，

故 BF//平面ACGD …4分

（Ⅱ），设平面BCGF的法向量为，

    则，令，则，

而平面ADGC的法向量

      ∴＝

故二面角D-CG-F的余弦值为．9分

    （Ⅲ）设DG的中点为M，连接AM．FM，

则＝

    ＝＝＝．……………13分

解法二设DG的中点为M，连接AM．FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，

所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE 

∴MF//AB，且MF＝AB

    ∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，

    又BF平面ACGD 故 BF//平面ACGD……………4分

    （利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）

   （Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，

    ∵MF//DE，且MF＝DE ，  ∴MF⊥面ADGC

    在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则

    显然∠MNF是所求二面角的平面角．

∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

    ∴， ∴MN＝   

在直角三角形MNF中，MF＝2，MN

    ∴＝＝＝，＝

    故二面角D-CG-F的余弦值为 …………9分

   （Ⅲ）＝＝

    ＝＝．……………13分