Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC．PC于D．E两点，又PB=BC，PA=AB．

（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；

（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；

（Ⅲ）线段PA上是否存在点Q，使得PC//平面BDQ．若存在,求出点的位置,若不存在,说明理由．

Answer

 （Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC……………………………………．．．1分

又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC  …………………………………………．．2分

且，

∴  PC⊥平面BDE……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE  ∴  PC⊥BD

     ∵ PA⊥底面ABC ，

∴  PA⊥BD，又，且

      ∴ BD⊥平面PAC，…………………………………………………………………7分

又点Q是线段PA上任一点，故

∴ BD⊥DQ ………………………………………………………………………．．8分

（Ⅲ）【解析】
存在这样的点Q，使得PC//平面BDQ

不妨令PA=AB=1，则有PB=BC=  ，

由，容易计算得AD=AC

所以点Q在线段PA的处，即AQ=AP时，PC//QD，………………………10分

又,

从而PC//平面BDQ ．………………………………………………………………12分