Question

 

已知直线与函数的图象相切于点，且与函数的图象也相切．

求 （Ⅰ）求直线的方程及m的值；

（Ⅱ）设_，若恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅱ）方法一：

由恒成立，

得恒成立     ………………………………………………8分                      

设，则                  

当时，；当时，．

于是，在上单调递增，在上单调递减． ………………………11分    

故的最大值为  …………………………………………．．．12分                    

要使恒成立，只需    

∴   a的取值范围为 ………………………………………………………．．13分

方法二：由（Ⅰ）知，

∴

…………………………………………．．8分

（i）若时，令，则；令，则，

故在上单调递减，在上单调递增

故在上的最小值为

要使解得恒成立，

只需，得 …………………………．．．10分

（ii）若，恒成立，在上单调递减，，

故不可能恒成立     …………………………………………．．12分                    

综上所述，   即a的取值范围为…………………………．13分