Question

 已知二次函数满足以下两个条件：

①不等式的解集是（-2，0）   ②函数在上的最小值是3 

（Ⅰ）求的解析式；

 （Ⅱ）若点在函数的图象上，且

（ⅰ）求证：数列为等比数列

（ⅱ）令，是否存在整数使得数列取到最小值？若有，请求出的值；没有，请说明理由。

Answer

 【解析】
（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集为（-2，0），且f（x）是二次函数

       ∴ 可设  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的对称轴为直线 ，

       ∴  f（x）在 [1，2]上的最小值为f（1）=3a =3 ，

       ∴ a = 1 ，所以f（x）= x 2 + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）∵ 点（a n , a n + 1 ）在函数f（x）= x 2 + 2 x 的图象上

           ∴ a n + 1  = a n 2 + 2 a n  ,  则 1 + a n + 1  = 1 + a n 2 + 2 a n = （1 + a n）2 

           ∴ , 又首项

           ∴ 数列 为等比数列，且公比为2 。

（ⅱ）由上题可知，，

时，有， 时，有

故只须比较与，而，所以当时，数列取到最小值。