Question

已知函数f(x)=x³-ax²-3x

①若f(x)在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

②若x=-是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；

③在②的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图象与f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

Answer

 【解析】
（1）f′(x)=3xax-3,…………………………1分

∵f(x)在[1，+∞）上是增函数，

∴在[1，+∞）上恒有f′(x)≥0，即3xax-3≥0在[1，+∞）上恒成立.

3

则必有…………………………3分

∴a≤0…………………………………………5分

（2）依题意，f′(-)=0，即+a-3=0………………………………6分

∴a=4, ∴f(x)=xxx,令f′(x)=3xx-3=0，则x1=-(舍)，x2=3.………………………8分

则

∴在[1，4]上的最大值是f(1)=-6.…………………………10分

（3）函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程xxx=bx恰有3个不等实根.……………………………………11分

∴xxx-bx=0, ∴x=0是其中一个根.…………………………12分

4

∴，∴b＞-7且b≠-6.………………14分