如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．（1）求证...

6ec8aac122bd4f6e 如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．

（1）求证：平面

（2）当平面与底面所成二面角为时，

求二面角的大小．

【解析】（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是， ∵∴∴，且， ∴是直角三角形，且，…………………………………3分 ∴，∵平面，∴，且，∴平面……………………………………………………………6分（2）解法1：由（1）知，且是平行四边形，可知，又∵平面，由三垂线定理可知，，又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，从而又在中，， ∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和， ∴中位线，且平面，∴平面，在中，中线，由三垂线定理知，，为二面角的平面角，在中，，，，， ∴二面角的大小为. 解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，，，，则，，设平面的一个法向量为, 则由又是平面的一个法向量，平面与底面所成二面角为，解得，设平面的一个法向量为, 则由. 又是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，∴ ∴ ∴二面角的大小为.…………………….…….……12分

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考点分析：

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甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生．高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．

（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；

（2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为，求随机变量的期望．