Question

 （请在答题卡上答题）

已知，函数，（其中为自然对数的底数）．

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）若实数满足，求证：.

Answer

解（1）∵，，∴．

若，则，在上单调递增；                  

①  ②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，         

③若，则，函数在区间上单调递减.  

（2）【解析】
∵，，

，

由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．                               

  又，∴．                

 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．故不存在.                 

（3）证明：

，由（2）知，令得.